Немного о рыночном ценообразовании или пределы возможных изменений цены. Часть 4.

После сказанного в предыдущих трех статьях, вплотную подошли к рассмотрению ценового аттрактора. 

Аттракторы – это множества, к которым притягиваются решения той либо иной динамической системы. И рассмотрения этих решений даст возможность определять, когда цены будут проявлять персистентный (трендовый) характер, а когда хаотический.

Совмещая выражения (10) из Части 2 и (4) из Части 3 в одну систему получим:

 . (1)

Условие устойчивости данной системы можно получить, приравняв производные к нулю (тогда и цены и объемы постоянно будут иметь одинаковую величину). Тогда:

 . (2)

С другой стороны, систему (1) можно свести к уравнению. Для этого умножим первое уравнение системы (1) на , а второе на:

 . (3)

Тогда

 .(4)

Из первого уравнения вычтем вторую составляющую и суммируем третью:

 .(5)

Откуда

 .(6)

Для выяснения скорости схождения к устойчивой цене рассмотрим векторное поле в трехмерном фазовом пространстве, зависимость трех компонент которого v₁, v₂, p дается правыми частями трех уравнений системы (6):

. (7)

 Это поле имеет смысл поля скоростей в фазовом пространстве: мгновенная скорость движения изображающей точки в момент, когда она имеет координаты (v₁, v₂, p), дается вектором L. Вычислим дивергенцию этого поля:

. (8)

Предположим, что H величина отрицательная и  (темпы роста и отношение цен, по умолчанию не могут быть отрицательными). Тогда дивергенция постоянна и отрицательна.

Представим, что ансамбль таких одинаковых систем, каждая из которых описывается уравнениями объемно-ценовой системы, и пусть они отличаются только начальными условиями. Представим, что в начальный момент облако точек, изображающих состояния систем ансамбля в фазовом пространстве, занимает объем ∆V. Тогда в процессе эволюции систем ансамбля во времени объем облака будет уменьшаться по закону

,

где

.

С течением времени все они должны сконцентрироваться на некотором множестве нулевого объема – аттракторе. А аттрактор обязан располагаться в ограниченной области фазового пространства.

Вычислив якобиан получаем:

.  (9)

В этом случае область движений будет замкнутая и будет существовать аттрактор. Если якобиан будет равен нулю, то это будет неподвижная точка, а если больше 1, то цена будет стремительно расти либо падать.